Dominio y rango de una
relación
El dominio de una
relación es el conjunto de preimágenes; es decir, el conjunto formado
por los elementos del conjunto de partida que están relacionados. Al conjunto
de imágenes, esto es, elementos del conjunto de llegada que están
relacionados, se le denomina recorrido o rango.
Ejemplo 3
Sea A = {1, 2, 3, 4} y B =
{4, 5, 6, 7, 8} y R la relación definida de A en B determinada por la regla “y es
el doble de x” o “y = 2x”, encontrar dominio y rango de la
relación.
Solución
El total de pares ordenados que
podemos formar, o producto cartesiano es:
A x B = {(1, 4), (1, 5),
(1, 6), (1, 7), (1, 8), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (2, 7), (2, 8), (3, 4), (3, 5),
(3, 6), (3, 7), (3, 8), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (4, 7), (4, 8)}
Pero los pares que pertenecen a
la relación R (y = 2x) son solo:
R = {(2, 4), (3, 6), (4, 8)}
En esta relación vemos que: “4 es
el doble de 2”; esto es, “4 es la imagen de 2 bajo R”, dicho de otro modo, “2
es preimagen de 4”.
Así, el dominio y rango son:
D = {2, 3, 4}
Rg = {4, 6, 8}
Según lo que vemos, ¿Qué relación
hay entre el Dominio y el conjunto de partida?
En el Dominio falta el elemento 1
del conjunto de partida, por lo tanto el Dominio es un subconjunto de A.
Otra pregunta: ¿Todo elemento del
conjunto de llegada es elemento del rango?
La respuesta es no, pues en el
rango faltan el 5 y el 7.
Representación gráfica de las
relaciones
Los pares ordenados se pueden
representar gráficamente por medio de diagramas sagitales o por medio
de puntos en el plano cartesiano. Veamos el siguiente ejemplo.
Ejemplo 4
Si A = {1, 2, 3, 4, 5} y B
= {1, 3, 5, 7, 9} y R la relación definida por la
regla
R = {(x, y) / y =
2x + 1}, graficar R.
Solución
Los pares ordenados que
pertenecen a la relación (que cumplen con y = 2x + 1) son:
R
= {(1, 3), (2, 5), (3, 7), (4, 9)}
Y la gráfica correspondiente es la siguiente:
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Fuente:
http://www.profesorenlinea.cl
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